تئوری فضای تغییر شکل یافته q و کاربرد آن در چند مساله فیزیکی

در مکانیک کلاسیک محدودیتی برای تعیین همزمان مکان و تکانه یک ذره وجود ندارد و qi و pi که به عنوان مختصات کانونی شناخته می شوند، هر کدام یک عدد هستند. اما در مکانیک کوانتومی به خاطر اصل عدم یقین هایزنبرگ نمی توان به طور همزمان و تکانه ذره را تعیین کرد. در واقع در اینجا با مشاهده پذیرهای مکان و تکانه سروکار داریم که در روابط زیر صدق می کنند. [xi, xj][pi, pj]0 [xi, pj]ih ij در تئوری ای که در این پایان نامه از آن استفاده می کنیم، فضای به گونه ای است که در آن عملگرهای مکان با هم جابجا نمی شوند: xyqyx, xzqzx, yzqzy که در آن q پارامتر تغییر شکل است و در حالت کلی یک عدد مختلط می باشد. در فصل اول چند مساله ساده را در مکانیک کلاسیک و مکانیک کوانتومی به طور مختصر مرور می کنیم. در فصل اول فضای تغییر شکل یافته را معرفی می کنیم و عملگرهای مکان و تکانه در این فضا را بر حسب عملگرهای مکان و تکانه در فضای کوانتوی معمولی می نویسیم. سپس مساله ذره آزاد و نوسانگر هارمونیک را در فضای تغییر شکل یافته مورد بررسی قرار می دهیم. رفتار ذره آزاد در این فضا مشابه رفتار ذره ای با بار e است که در فضای معمولی در یک میدان مغناطیسی حرکت می کند. در مساله نوسانگر هارمونیک دوبعدی انرژی اولین حالت برانگیخته دوگانه است و مقددار آن برابر 2hw می باشد. در مکانیک کوانتومی معمولی با وارد کردن یک اختلال می توان چندگانگی ترازها را از بین برد. در حالی که در فضای تغییر شکل یافته ترازهای انرژی چندگانه نیستند. یعنی این تئوری نقش همان تئوری اختلال را در مساله نوسانگر دارد. در ادامه فصل دوم انرژی حالتهای نوسانگر d بعدی را برای اولین حالت برانگیخته آن به دست می آوریم. در فصل سوم جبر عمومی تغییر شکل یافته را می سازیم که جبر هایزنبرگ - ویل حالت خاصی از آن می باشد. با استفاده از جبر هایزنبرگ - ویل نوسانگر هارمونیک یک بعدی را مورد بررسی قرار می دهیم. سپس گروه suq(2) را به طور مختصر مرور می کنیم. آخرین مطلب این فصل، تعمیم روش شوئینگر به گروه suq(2) می باشد. فصل چهارم به بررسی اتم هیدروژن با جبر تغییر شکل یافته اختصاص دارد. برای این کار ابتدا با معرفی تبدیل کوهستانهایموواستیفل (kastaanheimo and stiefel) مساله اتم هیدروژن را به مساله اتم هیدروژن را به مساله نوسانگر هارمونیک چهاربعدی ارتباط می دهیم. در قسمت بعد با در نظر گرفتن مساله نیروی مرکزی، با روش هایزنبرگ در تعمیم آن به مکانیک کوانتومی آن به مکانیک کوانتومی، ارتباط آن را با گروه suq(2) مورد بررسی قرار می دهیم. بالاخره مقادیر ویژه ای ویژه و توابع موج اتم هیدروژن با جبر تغییر شکل یافته را بر حسب مقادیر ویژه را توابع نوسانگر هارمونیک چهاربعدی به دست می آوریم. در تمام این موارد در حد q--->1 نتایج به دست آمده با نتایج مشابه در مکانیک کوانتومی معمولی مطابقت دارند.